Solution Manual for Digital Control System Analysis Design, 4th Edition
Preview Extract
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
CHAPTER 2
2.2-1. The rectangular rules for numerical integration are illustrated in Fig. P2.2-1. The left-side rule is
depicted in Fig. P2.2-1(a), and the right-side rule is depicted in Fig. P2.2-1(b). The integral of x (t )
is approximated by the sum of the rectangular areas shown for each rule. Let y ( kT ) be the
numerical integral of x (t ), 0 โค t โค kT.
x(t)
x(k + 1)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
x(k)
kT
(k + 1)T
t
(a)
x(t)
x(k + 1)
kT
(k + 1)T
t
(b)
FIGURE P2.2-1 Rectangular rules for integration: (a) left side; (b) right side.
(a)
Write the difference equation relating y ( k + 1) , y ( k ) , and x ( k ) for the left-side rule.
(b) Find the transfer function Y ( z ) /X ( z ) for part (a).
(c) Write the difference equation relating y ( k + 1) , y ( k ) , and x ( k + 1) for the right-side rule.
(d) Find the transfer function Y ( z ) /X ( z ) for part (c).
(e) Express y ( k ) as a summation on x ( k ) for the left-side rule.
(f) Express y ( k ) as a summation on x ( k ) for the right-side rule.
ย 17 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
Solution:
(a) y(k + 1) = y(k ) + Tx(k )
(b) zY ( z ) = Y ( z ) + TX ( z ) โ
Y ( z)
T
=
X ( z) z โ 1
(c) y(k + 1) = y(k ) + Tx(k + 1)
(d) zY ( z ) = Y ( z ) + TzX ( z ) โ
Y ( z)
Tz
=
X ( z) z โ 1
(e) y(1) = y(0) + Tx(0)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
y(2) = y(1) + Tx(1) = y(0) + T ( x(0) + x(1) )
y(3) = y(2) + Tx(2) = y(0) + T [ x(0) + x(1) + x(2)]
k โ1
โด y(k ) = y(0) + T โ x(n)
n =0
(f) y(1) = y(0) + Tx(1)
y(2) = y(1) + Tx(2) = y(0) + T [ x(1) + x(2)]
k
โด y(k ) = y(0) + T โ x(n)
n =1
2.2-2. The trapezoidal rule (modified Euler method) for numerical integration approximates the integral
of a function x (t ) by summing trapezoid areas as shown in Fig. P2.2-2. Let y (t ) be the integral of
x (t ) .
x(t)
x(k)
x(k + 1)
kT
(k + 1)T
t
FIGURE P2.2-2 Trapezoidal rule for numerical integration.
(a) Write the difference equation relating y โกโฃโข( k + 1)T โคโฆโฅ , y ( kT ), x โกโฃโข( k + 1)T โคโฆโฅ , and x ( kT ) for this rule.
(b) Show that the transfer function for this integrator is given by
ย 18 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
Y ( z)
X ( z)
=
(T 2)( z + 1)
z โ1
Solution:
(a) y(k + 1) = y(k ) + T
(b) zY ( z) = Y ( z) +
x(k ) + x(k + 1)
2
T
T z +1
X ( z)
[ X ( z) + zX ( z)] โ Y ( z) =
2
2 z โ1
2.2-3. (a) The transfer function for the right-side rectangular-rule integrator was found in Problem 2.2-1
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
to be Y ( z ) /X ( z ) = Tz/ ( z โ 1) . We would suspect that the reciprocal of this transfer function should
yield an approximation to a differentiator. That is, if w( kT ) is a numerical derivative of x (t ) at
t = kT ,
W ( z)
X ( z)
=
z โ1
Tz
Write the difference equation describing this differentiator.
(b) Draw a figure similar to those in Fig. P2.2-1 illustrating the approximate differentiation.
(c) Repeat part (a) for the left-side rule, where W ( z ) /X ( z ) = T / ( z โ 1) .
(d) Repeat part (b) for the differentiator of part (c).
Solution:
(a) Tz W ( z) = zX ( z) โ X ( z)
w(k + 1) =
1
[ x(k + 1) โ x(k )]
T
(b)
x
calculated
slope
kT (k + 1)T t
(c) TW ( z) = zX ( z) โ X ( z)
ย 19 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
x
calculated
slope
kT (k + 1)T t
w(k ) =
1
[ x(k + 1) โ x(k ) ]
T
2.3-1. Find the z-transform of the number sequence generated by sampling the time function e(t ) = t
every T seconds, beginning at t = 0 . Can you express this transform in closed form?
e(t) = t; E(z) = 0 + Tz โ1 + 2Tz โ2 +! =
Tz
(z โ 1)2
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
Solution:
2.3-2. (a) Write, as a series, the z-transform of the number sequence generated by sampling the time
function e(t ) = ฮตโt every T seconds, beginning at t = 0 . Can you express this transform in
closed form?
(b) Evaluate the coefficients in the series of part (a) for the case that T = 0.05 s .
(c) The exponential e(t ) = ฮตโbt is sampled every T = 0.2 s , yielding the z-transform
โ 1โ
โ 1 โ2
โ 1 โ3
E(z) = 1 + โโ โโโ zโ1 + โโ โโโ zโ2 + โโ โโโ zโ3 + ๏
โโ 2 โ
โโ 2 โ
โโ 2 โ
Evaluate b.
Solution:
(a) E( z) = 1 + ฮตโT z โ1 + ฮตโ2T z โ2 +L
= 1 + (ฮต โT z โ1 ) 1+ (ฮต โT z โ1 )2 +! =
1
z
=
โT โ1
1โ ฮต z
z โ ฮต โT
(b) E(z) = 1+ (0.9512z โ1 )1 + (0.9512z โ1 )2 +! =
(c) ฮตโbT
T = 0.2
z
z โ 0.9512
= ฮตโ0.2b = 0.5
ย 20 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โดโ0.2b = ln (0.5) = โ0.6931 โ b = โ3.466
2.3-3. Find the z-transforms of the number sequences generated by sampling the following time functions
every T seconds, beginning at t = 0 . Express these transforms in closed form.
(a) e(t ) = ฮตโat
(b) e(t ) = ฮต (
โ tโT )
u (t โ T )
(c) e(t ) = ฮต (
u (t โ 5T )
Solution:
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
โ tโ5T )
(a) e(t) = ฮตโat โ E(z) = 1+ ฮตโaT z โ1 + ฮตโ2aT z โ2 +! =
z
2-3.
z โ ฮตโaT
(b) e(t ) = ฮตโ(t โT )u(t โ T )
# z &
1
E(z) = z โ1 + ฮตโT z โ2 + ฮตโ2T z โ3 +! = z โ1 %
(=
$ z โ ฮตโT ‘ z โ ฮตโT
(c) e(t ) = ฮตโ(t โ5T )u(t โ 5T )
# z &
1
E(z) = z โ5 + ฮตโT z โ6 + ฮตโ2T z โ7 +! = z โ5 %
(=
$ z โ ฮตโT ‘ z 4 (z โ ฮตโT )
2.4-1. A function e(t ) is sampled, and the resultant sequence has the z-transform
E ( z) =
z 3 โ 2z
z 4 โ 0.9z 2 + 0.8
Solve this problem using E ( z ) and the properties of the z-transform.
(a) Find the z-transform of e(t โ 2T )u (t โ 2T ) .
(b) Find the z-transform of e(t + 2)u (t ) .
(c) Find the z-transform of e(t โ T )u (t โ 2T ) .
ย 21 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
Solution:
(a) [e(t โ 2T )u(t โ 2T )] =
(z 3 โ 2z)z โ2
z 4 โ 0.9z 2 + 0.8
(b) e(0) = 0, e(1) = 1
โด [e(t + T )u(t)] = z[E(z) โ e(0) โ e(1)z โ1 ]
โก
z3 โ 2z
1โค
โ1.1z 2 + 0.8
= zโข 4
โ
=
โฅ
2
4
2
โฃ z โ 0.9 z + 0.8 z โฆ z โ 0.9 z + 0.8
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(c) [e(t โ T )u(t โ 2T )] = e(T )z โ2 + e(2T )z โ3 +!
= z โ1[E( z) โ e(0)] = z โ1E( z), since e(0) = 0
=
z2 โ z
z 4 โ 0.9 z 2 + 0.8
2.4-2. A function e(t ) is sampled, and the resultant sequence has the z-transform
E ( z) =
zโb
z โ cz 2 + d
2
Find the z-transform of ฮต akT e( kT ) . Solve this problem using E ( z ) and the properties of the ztransform.
Solution:
By complex translation
zฮตโaT โ b
โก ฮต akT e( kT )โค = E(zฮตโaT ) =
โขโฃ
โฅโฆ
2 โ2aT
โ cz 2ฮตโ2aT + d
z ฮต
2.5-1. From Table 2-3,
z ( z โ cos aT )
โกโขcos akT โคโฅ =
โฆ
โฃ
2
z โ 2z cos aT + 1
ย 22 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(a) Find the conditions on the parameter a such that โฅ โกโขโฃcos akT โคโฅโฆ is first order (pole-zero cancellation
occurs).
(b) Give the first-order transfer function in part (a).
(c) Find a such that โฅ โกโฃโขcos akT โคโฆโฅ = โฅ โกโขโฃu ( kT )โคโฅโฆ , where u ( kT ) is the unit step function.
Solution:
z cos a ยฑ 4cos 2 a โ 4
= cos(a) ยฑ j sin(a)
2
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(a) poles: z =
โด pole = cos a, provided sin a = 0 โ a = 0, ยฑ ฯ, ยฑ 2ฯ, K , ยฑ nฯ
Then cos a = (โ1)n โด poles = cos a
(b) E ( z ) =
z ( z โ cos a)
z
, a = ยฑ nฯ, n = 0, 1, โฆ
=
( z โ cos a)( z โ cos a) z โ cos a
(c) E ( z ) =
z
z
, โด cos a = 1, a = 0, ยฑ 2ฯ, ยฑ 4ฯ, โฆ
=
z โ cos a z โ 1
2.5-2. Find the z-transform, in closed form, of the number sequence generated by sampling the time
function e(t ) every T seconds beginning at t = 0 . The function e(t ) is specified by its Laplace
transform,
E ( s) =
(
2 1 โ ฮตโ5s
s(s + 2)
),
T = 1s
Solution:
E1 (s) =
2
1
โ1
= +
s(s + 2) s s + 2
โด e1 (t ) = (1 โ ฮตโ2t )u(t ) โ e1 (kT ) = (1 โ ฮตโ2kT )u(kT )
โด E1 (z) = (1+ z โ1 + z โ2 +!) โ (1โ ฮตโ2T z โ1 + ฮตโ4T z โ2 +!)
ย 23 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
=
1
1
z
z
(1 โ ฮตโ2 ) z
โ
=
โ
=
, T =1
1 โ z โ1 1 โ ฮตโ2 z โ1 z โ 1 z โ ฮตโ2T ( z โ 1)( z โ ฮตโ2 )
E ( z ) = E1 ( z ) โ z โ5 E1 ( z ) =
(1 โ ฮตโ2 )( z 5 โ 1)
0.8647( z 5 โ 1)
=
z 4 ( z โ 1)( z โ ฮตโ2 ) z 4 ( z โ 1)( z โ 0.1353)
2.6-1. Solve the given difference equation for x ( k ) using:
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
โง1, k = 0, 1
x(k ) โ 3x(k โ 1) + 2 x(k โ 2) = e(k ), e(k ) = โจ
โฉ0, k โฅ 2
x (โ2) = x (โ1) = 0
(a) The sequential technique.
(b) The z-transform.
(c) Will the final-value theorem give the correct value of x ( k ) as k โ โ ?
Solution:
(a) x(0) = e(0) = 1
x(1) = e(1) + 3x(0) = 4
x(2) = e(2) + 3x(1) โ 2 x(0) = 10
x(3) = 0 + 3(10) โ 2(4) = 22
x(4) = 0 + 3(22) โ 2(10) = 46
(b) [1 โ 3z โ1 + 2 z โ2 ] X ( z) = E( z) = 1 + z โ1 =
X ( z) =
z +1
z
z2
z +1
z ( z + 1)
3 โค
โก โ2
ร
=
= zโข
+
โฅ
z
( z โ 1)( z โ 2)
( z โ 1)( z โ 2)
โฃ z โ1 z โ 2โฆ
โด x(k ) = โ2 + 3(2)k
(c) No, since the final value does not exist.
ย 24 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
2.6-2. Given the difference equation
y ( k + 2) โ
3
1
y ( k + 1) + y ( k ) = e( k )
4
8
where y (0) = y (1) = 0, e(0) = 0 , and e( k ) = 1, k = 1, 2,โฆ .
(a) Solve for y ( k ) as a function of k, and give the numerical values of y ( k ), 0 โคk โค 4.
(b) Solve the difference equation directly for y ( k ), 0 โค k โค 4, to verify the results of part (a).
Solution:
(a)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(c) Repeat parts (a) and (b) for e( k ) = 0 for all k, and y (0) = 1, y (1) = โ2 .
โก z โค
1
=
E(z) = [u(k โ 1)] = z โ1 โข
โฅ
โฃ z โ 1โฆ z โ 1
1โค
โก 2 3
โข z โ 4 z + 8 โฅ Y ( z) = E( z)
โฃ
โฆ
Y ( z)
1
1
โ8 8 3
โ16
64 3
=
ยท
=
+
+
+
1
1 โโ
1 โ z โ1 z z โ1 z โ
z
z โ1 4
โ
z โ z โ โโ z โ โ
2
2 โ โ
4โ
โ
k
64 โ 1 โ
โ1โ
โด y (k ) = โ8ฮด(0) + 8 โ 16 โ โ + โ โ
3
3 โ4โ
โ2โ
k
โด y(0) = 0; y(1) = 0; y(2) = 0; y(3) = 1; y(4) =
(b) y(k + 2) = e(k ) +
7
4
3
1
y (k + 1) โ y(k )
4
8
3
1
y(2) = 0 + (0) โ (0) = 0
4
8
3
1
y (3) = 1 + (0) โ (0) = 1
4
8
3
1
y(4) = 1 + (1) โ (0) = 7 4
4
8
ย 25 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
3
1
(c) (a) y(k + 2) โ y(k + 1) + y(k ) = 0
4
8
3
1
โด z 2 [Y ( z ) โ y(0) โ y(1) z โ1 ] โ z[Y ( z ) โ y(0)] + Y ( z ) = 0
4
8
3
1โค
3
โก
โด โข z 2 โ z + โฅ Y ( z) = z 2 โ 2z โ z
4
8โฆ
4
โฃ
โก
โค
k
k
โก
โค
z โ1 4
โฅ = z โข โ9 + 10 โฅ โ y(k) = โ9 โ 1 โ + 10 โ 1 โ
โด Y (z) = z โข
โโ 2 โโ
โโ 4 โโ
โข
โขz โ 1
1
1 โฅ
zโ 1 โฅ
โขโฃ z โ 2 z โ 4 โฅโฆ
โฃ
4โฆ
2
(
)(
)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
y(0) = 1, y(1) = โ2, y(2) = โ13 8, y(3) = โ 31 32, y(4) = โ 67 128
(b) y(k + 2) =
3
1
y(k + 1) โ y(k )
4
8
y(2) =
3
1
(โ2) โ (1) = โ13 8
4
8
y (3) =
3 โ 13 โ 1
โ โ โ โ (โ2) = โ31 32
4โ 8 โ 8
y (4) =
3 โ 31 โ 1 โ 13 โ
67
โโ โ โ โโ โ = โ
4 โ 32 โ 8 โ 8 โ
128
2.6-3. Given the difference equation
x ( k ) โ x ( k โ 1) + x ( k โ 2) = e( k )
where e( k ) = 1 for k โฅ 0.
(a) Solve for x ( k ) as a function of k, using the z-transform. Give the values of x (0), x (1) , and
x (2) .
(b) Verify the values x (0) , x (1) , and x (2) , using the power-series method.
(c) Verify the values x (0) , x (1) , and x (2) by solving the difference equation directly.
(d) Will the final-value property give the correct value for x (โ)?
ย 26 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
Solution:
(a) [1 โ z โ1 + z โ2 ] X ( z) = E( z) =
X ( z) =
z3
,
( z โ 1)( z 2 โ z + 1)
z
z โ1
poles: z =
1
3
ยฑ j
= 1โ ยฑ 60ยฐ
2
2
k
k*
1
X ( z)
=
+ 1 + 1 * with p = 1โ 60ยฐ
z
z โ 1 z โ p1 z โ p1
k1 =
1โ 120ยฐ
= 0.5774 โ โ 90ยฐ
1โ 120ยฐ [ j 2(0.866)]
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
=
z2
1โ 120ยฐ
=
( z โ 1)( z โ 1โ โ 60ยฐ) z =1โ 60ยฐ (.5 + j.866 โ 1)(.5 + j.866 โ .5 + j.866)
โด aT = ln ( p1 ) = 0; bT = arg p1 =
ฯ
3
A = 2 k1 = 1.155; ฮธ = arg k1 = โ90ยฐ
โฯ
โ
โฯ โ
โด x(k ) = 1 + 1.155 cos โ k โ 90ยฐ โ = 1 + 1.155 sin โ k โ
3
โ
โ
โ3 โ
x(0) = 1, x(1) = 2, x(2) = 2
1+ 2z โ1 + 2z โ2 +!
(b) z 3 โ 2z 2 + 2z โ 1 z 3
3
2
z โ 2z + 2z โ 1
โด x(0) = 1
x(1) = 2
x(2) = 2
2z 2 โ 2z + 1
2z 2 โ 4z + 4 โ 2z โ1
2z +!
(c) x(k ) = 1 + x(k โ 1) โ x(k โ 2)
x(0) = 1 + 0 โ 0 = 1
x(1) = 1 + 1 โ 0 = 2
x(2) = 1 + 2 โ 1 = 2
(d) No, 3 poles for X(z) on the unit circle.
ย 27 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
2.6-4. Given the difference equation
x ( k + 2) + 3x ( k + 1) + 2x ( k ) = e( k )
where
โง 1,
โช
k=0
โช
e( k ) = โจ
โช
0, otherwise
โช
โช
โฉ
x (0) = 1
x (1) = โ1
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(a) Solve for x ( k ) as a function of k.
(b) Evaluate x (0) , x (1) , x (2) , and x (3) in part (a).
(c) Verify the results in part (b) using the power-series method.
(d) Verify the results in part (b) by solving the difference equation directly.
Solution:
(a) z 2 [ X ( z) โ x(0) โ x(1) z โ1 ] + 3z[ X ( z) โ x(0)] + 2 X ( z) = E( z) = 1
โด X ( z) =
1 + z 2 โ z + 3z z 2 + 2 z + 1 z + 1
= 2
=
z 2 โ 3z + 2
z + 3z + 2 z + 2
1
โก z +1 โค
โก1
โค
โด X ( z) = z โข
= zโข 2 + 2 โฅ
โฅ
+
+
z
z
z
z
(
2)
2
โฃ
โฆ
โฃ
โฆ
1
1
โด x(k ) = ฮด(k ) + (โ2)k
2
2
(b) x(0) = 1, x(1) = โ1, x(2) = 2, x(3) = โ4
ย 28 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
1โ z โ1 + 2z โ2 โ 4z โ3 +โฆ
(c) z + 2 z + 1
z+2
โ1
โ1โ 2z โ1
2z โ1
2z โ1 + 4z โ2
โ4z โ2
!
(d) x(k + 2) = e(k ) โ 3x(k + 1) โ 2x(k )
x(2) = 1 โ 3(โ1) โ 2(1) = 2
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
x(3) = 0 โ 3(2) โ 2(โ1) = โ4
2.6-5. Given the difference equation
x ( k + 3) โ 2.2x ( k + 2) + 1.57x ( k + 1) โ 0.36x ( k ) = e( k )
where e( k ) = 1 for all k โฅ 0, and x (0) = x (1) = x (2) = 0 .
(a) Write a digital computer program that will calculate x ( k ) . Run this program solving for x (3) ,
x (4) , . . . , x (25) .
(b) Using the sequential technique, check the values of x ( k ), 0 โค k โค 5.
(c) Use the z-transform and the power-series method to verify the values x ( k ), 0 โค k โค 5.
Solution:
(a) x0 = 0;
x1 = 0;
x2 = 0;
for k = 0:5;
x3 = 2.2*x2 โ 1.57*x1 + 0.36*x0 + 1
x0 = x1;
ย 29 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
x1 = x2;
x2 = x3;
end
(b) x(k + 3) = e(k ) + 2.2x(k + 2) โ 1.57 x(k + 1) + 0.36x(k )
x(3) = 1 + 0 โ 0 + 0 = 1
x(4) = 1 + 2.2(1) โ 0 + 0 = 3.2
x(5) = 1 + 2.2(3.2) โ 1.57(1) = 6.47
X ( z) =
z
z โ1
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(c) [ z 3 โ 2.2 z 2 + 1.57 z โ 0.36] X ( z) = E( z) =
z
( z โ 1)( z โ 2.2 z 2 + 1.57 z โ 0.36)
3
z โ3 + 3.2z โ4 + 6.47z โ5 +!
z 4 โ 3.2z 3 + 3.77z 2 โ 1.93z + 0.36z
z โ 3.2 + 3.77z โ1 โ!
3.2 โ 3.77z โ1
3.2 โ 10.24z โ1 +!
6.47z โ1 +!
!
โด x(3) = 1
x(4) = 3.2
x(5) = 6.47
2.7-1. (a) Find e(0) , e(1) , and e(10) for
E ( z) =
0.1
z ( z โ 0.9)
using the inversion formula.
(b) Check the value of e(0) using the initial-value property.
(c) Check the values calculated in part (a) using partial fractions.
ย 30 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(d) Find e( k ) for k = 0, 1, 2, 3, and 4 if โฅ โกโฃโข e( k )โคโฆโฅ is given by
E ( z) =
1.98z
( z โ 0.9z + 0.9)( z โ 0.8)( z โ 1.2z + 0.27)
2
2
(e) Find a function e(t ) which, when sampled at a rate of 10 Hz (T = 0.1s) , results in the
transform E ( z ) = 2z/ ( z โ 0.8) .
(f) Repeat part (e) for E ( z ) = 2z/ ( z + 0.8) .
Solution:
(a) e(k ) =
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(g) From parts (e) and (f), what is the effect on the inverse z-transform of changing the sign on a
real pole?
0.1z k โ1
0.1z k โ 2
= โ
โ
residues z ( z โ 0.9)
residues z โ 0.9
k = 0 : fcn =
0.1
0.1
= 0.1235
, โด residue z =0.9 =
z ( z โ 0.9)
(0.9)2
residue z =0 =
d โก 0.1 โค
โ0.1(1)
โ0.1
=
=
= โ0.1235
โข
โฅ
2
dz โฃ z โ 0.9 โฆ z = 0 ( z โ 0.9) z = 0 (0.9)2
โด e(0) = 0
k = 1: e(1) =
2
0.1
0.1
+
=0
z โ 0.9 z =0
z z =0.9
k = 10 : e(10) = 0.1(0.9)8
(b) e(0) = lim E ( z) = lim
z โโ
(c)
0.1
z โโ z ( z โ 0.9)
=0
k3
k
k
0.1
E( z)
= 2
= 12 + 2 +
z
z z โ 0.9
z ( z โ 0.9) z
k1 =
1
0.1
1
โ0.1
= โ ; k3
=
0.9
9
(0.9)2 8.1
k2 =
d โก 0.1 โค
โ1
=
, from (a)
โข
โฅ
dz โฃ z โ 0.9 โฆ z =0 8.1
ย 31 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โด e(k ) =
โ1
1
1
ฮด(k ) โ ฮด(k โ 1) +
(0.9)k
8.1
9
8.1
x(0) = โ
1
1
1 0.9
+0+
= 0; x(1) = โ 0 โ +
=0
8.1
8.1
9 8.1
x(10) = โ 0 โ 0 +
(d) E(z) =
0.1
(0.9)10 = 0.1(0.9)8
(0.9)2
1.98z
= 1.98z โ4 + (โ
)z โ5 + (โ
)z โ6 +!
z 5 +!
โด e(0) = e(1) = e(2) = e(3) = 0; e(4) = 1.98
โดa =
2z
2z
=
z โ 0.8 z โ ฮตโ aT
โดฮตโ aT = 0.8 โ aT = 0.2231
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(e) E ( z ) =
0.2231
= 2.231, โด e(t ) = 2ฮตโ2.231t u (t )
0.1
(f) E ( z ) =
2z
; โดฮตโ aT ฮต jฯ = โ0.8 โ aT = 2.231
z โ (โ0.8)
โด e(t ) = 2eโ2.231t cos10ฯt where
(g) (e) e(k ) = (0.8) k ;
ฯs
= 10ฯ
2
(f ) e(k ) = (โ0.8) k
โด sign alternates on e(k ).
2.7-2. For the number sequence {e( k )} ,
E ( z) =
z
2
( z + 1)
(a) Apply the final-value theorem to E ( z ) .
(b) Check your result in part (a) by finding the inverse z-transform of E ( z ) .
2
(c) Repeat parts (a) and (b) with E ( z ) = z/ ( z โ 1) .
2
(d) Repeat parts (a) and (b) with E ( z ) = z/ ( z โ 0.9) .
ย 32 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
2
(e) Repeat parts (a) and (b) with E ( z ) = z/ ( z โ 1.1) .
Solution:
(a) e(โ) = lim ( z โ 1) E ( z ) =
z โ1
z ( z โ 1)
=0
( z + 1) 2 z =1
โก z โค
(b) e(k ) = z โ1 โข
= k (โ1)k , โด e(โ)unbounded
2โฅ
โฃ ( z โ 1) โฆ
(c) (a) e(โ) = lim ( z โ 1)
z
, โด unbounded
( z โ 1)2
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
z โ1
(b) e(k ) = k , โด unbounded
(d) (a) e(โ) = lim ( z โ 1)
z โ1
z
=0
( z โ 0.9)2
(b) e(k ) = k (0.9)k ; โด e(โ) โ 0
(e) (a) e(โ) = lim ( z โ 1)
z โ1
z
=0
( z โ 1.1)2
(b) e(k ) = k (1.1)k ; โด e(โ) is unbounded.
2.7-3. Find the inverse z-transform of each E ( z ) below by the four methods given in the text. Compare
the values of e( z ) , for k = 0, 1, 2, and 3, obtained by the four methods.
(a) E ( z ) =
(c) E ( z ) =
0.5z
( z โ 1)( z โ 0.6)
0.5( z + 1)
( z โ 1)( z โ 0.6)
(b)
E ( z) =
(d)
E ( z) =
0.5
( z โ 1)( z โ 0.6)
z ( z โ 0.7)
( z โ 1)( z โ 0.6)
(e) Use MATLAB to verify the partial-fraction expansions.
Solution:
ย 33 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
0.5z โ1 + 0.8z โ2 + 0.98z โ3 +!
(a) (i) z 2 โ 1.6z + 0.6 0.5z
0.5z โ 0.8 + 0.3z โ1
0.8 โ 0.3z โ1
0.8 โ 1.28z โ1 +!
0.98z โ1 +!
(ii)
0.5
1.25 โ1.25
1.25 z 1.25 z
E( z)
; โด E( z) =
=
=
+
โ
( z โ 1)( z โ 0.6) z โ 1 z โ 0.6
z
z โ 1 z โ 0.6
โด e(k ) = 1.25(1 โ 0.6k )u(k )
0.5 z k
( z โ 1)( z โ 0.6)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(iii) z k โ1 E ( z ) =
e( k ) =
0.5(1) k 0.5(0.6) k
+
= 1.25(1 โ 0.6k )u ( k )
1 โ 0.6
0.6 โ 1
(iv) E1 ( z ) =
E2 ( z) =
0.5 z
โ e1 (k ) = 0.5(0.6)k
z โ 0.6
1
โ e2 (0) = 0; e2 (k ) = 1, k โฅ 1
z โ1
e(0) = e1 (0)e2 (0) = (0.5)(0) = 0
e(1) = e1 (0)e2 (1) + e1 (1)e2 (0) = (0.5)(1) + (0.3)(0) = 0.5
e(2) = e1 (0)e2 (2) + e1 (1)e2 (1) + e1 (2)e2 (0)
= 0.5 ร 1 + 0.3 ร 1 + 0.18 ร 0 = 0.8
e(3) = 0.5 ร 1 + 0.3 ร 1 + 0.18 ร 1 + 0.108 ร 0 = 0.98
(b) e(0) = 0
e(k ) = 1.25 โ 2.083(0.6)k , k โฅ 1
E(z) = 0.5z โ2 + 0.8z โ3 + 0.98z โ4 + 1.088z โ5 +!
(c) e(0) = 0; e(k ) = 2.5 โ 3.33(0.6)k , k โฅ 1
E(z) = 0.5z โ1 + 1.30z โ2 + 1.78z โ3 + 2.068z โ4 + 2.2408z โ5 +!
(d) e(k ) = 0.75 + 0.25(0.6)k
ย 34 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
E(z) = 1+ 0.9z โ1 + 0.84z โ2 + 0.804z โ3 +!
(e) num=[0 0 0.5];
den=[1 โ1.6 0.6];
[r, p, k] = residue (num, den)
2.8-1. Given in Fig. P2.8-1 are two digital-filter structures, or realizations, for second-order filters.
e(k)
T
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
T
d2
d1
+
d0
+
+
+
y(k)
T
–
–
y(k)
T
c1
c0
(a)
b2
b1
e(k)
+
f(k)
–
–
T
T
b0
+
+
y(k)
+
a1
a0
(b)
FIGURE P2.8-1 Digital-filter structures: (a) 3D; (b) 1D.
ย 35 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(a) Write the difference equation for the 3D structure of Fig. P2.8-1(a), expressing y ( k ) as a
function of y ( k โ i) and e( k โ i) .
(b) Derive the filter transfer function Y ( z ) /E ( z ) for the 3D structure by taking the z-transform of
the equation in part (a).
(c) Write the difference equation for the 1D structure of Fig. P2.8-1(b). Two equations are
required, with one for f ( k ) and one for y ( k ) .
(d) Derive the filter transfer function Y ( z ) /E ( z ) for the 1D structure by taking the z-transform of
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
the equations in part (c) and eliminating F ( z ) .
(e) From parts (b) and (d), relate the coefficients ฮฑ i , ฮฒi to ai , bi such that the two filters realize the
same transfer function.
(f) Write a computer-program segment that realizes the 3D structure. This program should be of
the form used in Example 2.10.
(g) Write a MATLAB-program segment that realizes the 1D structure. This program should be of
the form used in Example 2.10.
Solution:
(a) y(k ) = ฮฒ2e(k ) + ฮฒ1e(k โ 1) + ฮฒ0e(k โ 2) โ ฮฑ1 y(k โ 1) โ ฮฑ0 y(k โ 2)
(b) โฃโก1 + ฮฑ1 z โ1 + ฮฑ0 z โ2 โคโฆ Y ( z ) = โกโฃฮฒ2 + ฮฒ1 z โ1 + ฮฒ0 z โ2 โคโฆ E ( z )
Y ( z ) ฮฒ2 z 2 + ฮฒ1 z + ฮฒ0
= 2
E( z)
z + ฮฑ1 z + ฮฑ0
(c) f (k ) = e(k ) โ a1 f (k โ 1) โ a0 f (k โ 2)
y(k ) = b2 f (k ) + b1 f (k โ 1) + b0 f (k โ 2)
(d) F ( z ) = E ( z ) โ (a1 z โ1 + a0 z โ2 ) F ( z ) โ F ( z ) =
Y ( z ) = (b2 + b1 z โ1 + b0 z โ2 ) F ( z ) =
(e) ฮฑi = ai
E( z)
1 + a1 z โ1 + a0 z โ2
b2 z 2 + b1 z + b0
z 2 + a1 z + a0
E( z)
and ฮฒi = bi , i = 1, 2
ย 36 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(f)
ykminus2 = 0;
ykminus1 = 0;
ekminus2 = 0;
ekminus1 = 0;
ek = 1;
for k = 0:5
yk=b2*ek+b1*ekminus1+b0*ekminus2โa1*ykminus1-a0*ykminus2;
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
[k, ek, yk]
ekminus2 = ekminus1;
ekminus1 = ek;
ykminus2 = ykminus1;
ykminus1 = yk;
end
(g)
fkminus2 = 0;
fkminus1 = 0;
ek = 1;
for k = 0:5
fk=ek-a1*fkminus1โa0*fkminus2;
yk = b2*fk+b1*fkminus1+b0*fkminus2;
[k, ek, yk]
fkminus2 = fkminus1;
fkminus1 = fk;
end
ย 37 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
2.8-2. Shown in Fig. P2.8-2 is the second-order digital-filter structure 1X.
b2
g1
e(k)
g3
+
+
f1(k)
+
T
–
y(k)
+
g2
g2
+
+
f2(k)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
g4
T
+
g1
FIGURE P2.8-2 Digital-filter structure 1X.
This structure realizes the filter transfer function
D ( z ) = b2 +
A
Aโ
+
zโ p zโ pโ
where p and p โ (conjugate of p) are complex. The relationships between the filter coefficients
and the coefficients in Fig. P2.8-2 are given by
g1 = Re( p) g3 = โ2 Im ( A)
g2 = Im ( p) g4 = 2 Re( A)
(a) To realize this filter, difference equations are required for f1 ( k ), f2 ( k ), and y ( k ) . Write these
equations.
(b) Find the filter transfer function Y ( z ) /E ( z ) by taking the z-transform of the equations of part (a)
and eliminating F1 ( z ) and F2 ( z ) .
(c) Verify the results in part (b) using Masonโs gain formula.
(d) Write a MATLAB-program segment that realizes the 1X structure. This program should be of
the form of that is used in Example 2.10.
ย 38 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
Solution:
(a) f1 (k ) = g1 f1 (k โ 1) โ g2 f2 (k โ 1) + g3e(k )
f2 (k ) = g1 f2 (k โ 1) + g1 f1 (k โ 1) + g4e(k )
y(k ) = b2e(k ) + f 2 (k โ 1)
(b) (1) F1 ( z) = g1 z โ1F1 ( z) โ g2 z โ1F2 ( z) + g3 E( z)
(2) F2 ( z) = g1 z โ1F2 ( z) + g2 z โ1F1 ( z) + g4 E( z)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(3) Y ( z) = b0 E( z) + z โ1F2 ( z)
โด (1) ( z โ g1 ) F1 ( z) + g2 F2 ( z) = g3 zE( z)
(2) โ g2 F1 ( z) + ( z โ g1 ) F2 ( z) = g4 zE( z)
z โ g1 g3 zE ( z )
โ g 2 g 4 zE ( z ) ( g 4 z 2 โ g1 g 4 z + g 2 g3 z )
โด F2 ( s) =
=
E( z)
z โ g1
g2
( z โ g1 )2 + g 22
โ g2
โด
z โ g1
g z + g 2 g3 โ g1 g 4
Y ( z)
= b2 + 4
E( z)
( z โ g1 )2 + g 22
also, D( z ) = b2 +
Re( A) + j Im( A)
Re( A) โ j Im( A)
+
z โ Re( p) โ j Im( p) z โ Re( p) + j Im( p)
1
( g โ jg3 ) 12 ( g 4 + jg3 )
= b2 + 2 4
+
z โ g1 โ jg 2 z โ g1 + jg 2
= b2 +
(c) D( z ) = b0 +
= b0 +
g 4 z โ g1 g 4 + g 2 g3
( z โ g1 ) 2 + g 22
g2 g3 z โ2 + g 4 (1 โ g1 z โ1 )
1 โ g1 z โ1 โ g1 z โ1 + g12 z โ2 + g 22 z โ2
g 4 z + g 2 g3 โ g1 g 4
z 2 โ 2 g1 z + g12 + g 22
(d) f1kminus1 = 0;
f2kminus1 = 0;
ย 39 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
ek = 1;
for k = 0:5
yk = b0*ek+f2kminus1;
[k, ek, yk]
f1k = g1*f1kminus1 โ g2*f2kminus1 + g3*ek;
f2k = g1*f2kminus1 + g2*f1kminus1 + g3*ek;
f1kminus1 = f1k;
end
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
f2kminus1 = f2k;
2.8-3. Given the second-order digital-filter transfer function
D( z) =
2z 2 โ 2.4z + 0.72
z 2 โ 1.4z + 0.98
(a) Find the coefficients of the 3D structure of Fig. P2.8-1 such that D ( z ) is realized.
(b) Find the coefficients of the ID structure of Fig. P2.8-1 such that D ( z ) is realized.
(c) Find the coefficients of the IX structure of Fig. P2.8-2 such that D ( z ) is realized.
The coefficients are identified in Problem 2.8-2.
(d) Use MATLAB to verify the partial-fraction expansions in part (c).
(e) Verify the results in part (c) using Masonโs gain formula.
Solution:
(a) ฮฒ2 = 2, ฮฒ1 = โ2.4, ฮฒ0 = 0.72, ฮฑ1 = โ1.4, ฮฑ0 = 0.98
(b) b2 = 2, b1 = โ2.4, b0 = 0.72, a1 = โ1.4, a0 = 0.98
(c) poles: z =
(
1.4 ยฑ 1.42 โ 4(0.98)
2
) = 0.7 ยฑ j0.7 = 0.99 โ ยฑ 45ยฐ
1
2
ย 40 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
D( z ) = 2 +
โดA=
A
A*
+
z โ 0.7 โ j 0.7 z โ 0.7 + j 0.7
2 z 2 โ 2.4 z + 0.72
j1.96 โ (1.68 + j1.68) + 0.72
=
z โ 0.7 + j 0.7 z =0.99โ 45ยฐ
j1.4
= 0.2 + j 0.6857
โด g1 = 0.7
g3 = 1.371
g2 = 0.7
g4 = 0.4
(d) num =[2 -2.4 .72];
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
den =[1 -1.4 0.98];
[r,p,k,]=residue(num, den)
(e) ฮ = 1 โ (0.7 z โ1 + 0.7 z โ1 + 0.4z โ2 ) + 0.49z โ2
= 1 โ 1.4 z โ1 + 0.98z โ2
D( z) = 2 +
= 2+
1
[1.371 (0.7) z โ2 + 0.4 z โ1 (1 + 0.7 z โ1 )]
ฮ
0.4 z โ 1.24
2 z 2 โ 2.4 z + 0.72
= 2
z โ 1.4 z + 0.98
z โ 1.4 z + 0.98
2
2.9-1. Find two different state-variable formulations that model the system whose difference equation is
given by:
(a) y ( k + 2) + 6 y ( k + 1) + 5y ( k ) = 2e( k )
(b) y ( k + 2) + 6 y ( k + 1) + 5y ( k ) = e( k + 1) + 2e( k )
(c) y ( k + 2) + 6 y ( k + 1) + 5y ( k ) = 3e( k + 2) + e( k + 1) + 2e( k )
Solution:
(a)
Y ( z)
2
= 2
U ( z) z + 6z + 5
(1)
control canonical:
ย 41 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
b2
O
b1
u(k)
+
T
x2(k)
O
x1(k)
T
y(k)
+
b0
2
-a1
-5
-6
-a0
โก0 1โค
โก0 โค
x(k + 1) = โข
x( k ) + โข โฅ u ( k )
โฅ
โฃ โ5 โ6 โฆ
โฃ1 โฆ
(2)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
y(k ) = [2 0] x(k )
observer canonical:
u(k)
b1
b0
Z
+
-a0
b2
O
T
-5
x2(k)
+
-a1
T
x1(k)
+
O
y(k)
-6
โก โ6 1 โค
โก0โค
x(k + 1) = โข
x( k ) + โข โฅ u ( k )
โฅ
โฃ โ5 0 โฆ
โฃ 2โฆ
y(k ) = [1 0] x(k )
(b)
x(k + 1) = same as (a)
Y ( z)
z+2
(1) control canonical:
= 2
y (k ) = [2 1]x(k )
U ( z) z + 6 z + 5
(2) observer canonical:
โก โ6 1 โค
โก1 โค
x(k + 1) = โข
x( k ) + โข โฅ u ( k )
โฅ
โฃ โ5 0 โฆ
โฃ 2โฆ
y(k ) = [1 0] x(k )
(c)
x(k + 1) = same as (a)
Y ( z ) 3z 2 + z + 2
(1) control canonical:
= 2
y (k ) = [โ13 โ17]x( k ) + 3u (k )
U ( z) z + 6 z + 5
ย 42 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(2) observer canonical:
โก โ6 1 โค
โก1 โค
x(k + 1) = โข
x( k ) + โข โฅ u ( k )
โฅ
โฃ โ5 0 โฆ
โฃ 2โฆ
y(k ) = [1 0] x(k ) + 3u(k )
2.9-2. Write the state equations for the observer canonical form of a system, shown in Fig. 2-10, which
has the transfer function given in (2-51) and (2-61)
Solution:
bnโ1z nโ1 + ๏ + b1z + b0
z n + anโ1z nโ1 + ๏ + a1z + a0
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
G ( z) =
” a
$ nโ1
$
x(k + 1) = $ anโ2
$ ”
$# 0
” b
%
1 0 ! 0 %
$ nโ1 ‘
‘
0 1 ! 0 ‘ x(k) + $ bnโ2 ‘ u(k)
$
‘
‘
$ ” ‘
” ”
” ‘
$ b ‘
0 0 ! 0 ‘&
# 0 &
y(k) = !” 1 0 0 ! 0 #$ x(k)
2.10-1. Find a state-variable formulation for the system described by the coupled second-order difference
equations given. The system output is y ( k ) , and e1 ( k ) and e2 ( k ) are the system inputs. Hint:
Draw a simulation diagram first.
x ( k + 2) + v ( k + 1) = 4e1 ( k ) + e2 ( k )
v ( k + 2) โ v ( k ) + x ( k ) = 2e1 ( k )
y ( k ) = v ( k + 2) โ x ( k + 1) + e1 ( k )
Solution:
ย 43 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
e1(k)
4
+
T
+
–
x2(k)
T
x1(k)
x(k)
+
2
–
+
e2(k)
T
+
0โค
โก0
โฅ
โข4
0 0 โ1โฅ
x( k ) + โข
โข0
0 0 1โฅ
โฅ
โข
0 1 0โฆ
โฃ2
1 0
x4(k)
T
x3(k)
n(k)
0โค
1 โฅโฅ
e( k )
0โฅ
โฅ
0โฆ
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
โก0
โข0
x(k + 1) = โข
โข0
โข
โฃ โ1
y(k)
y(k ) = x4 (k + 1) โ x2 (k ) + e1 (k ) = โ x1 (k ) + x3 (k ) โ x2 (k ) + e1 (k )
โด y(k ) = [โ1 โ1 1 0] x(k ) + [1 0] e(k )
2.10-2. Consider the system described by
โก
โค
โก โค
x ( k + 1) = โขโข 0 1 โฅโฅ x ( k ) + โขโข 1 โฅโฅ u ( k )
โขโฃ 0 3 โฅโฆ
โขโฃ 1 โฅโฆ
y ( k ) = โกโข โ2 1 โคโฅ x ( k )
โฃ
โฆ
(a) Find the transfer function Y ( z ) /U ( z ) .
(b) Using any similarity transformation, find a different state model for this system.
(c) Find the transfer function of the system from the transformed state equations.
(d) Verify that A given and A w derived in part (b) satisfy the first three properties of similarity
transformations. The fourth property was verified in part (c).
Solution:
โก z โ1 โค
โฅ ; ฮ = zI โ A = z ( z โ 3) = ฮ
โฃ 0 z โ 3โฆ
(a) zI โ A = โข
ย 44 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โก z โ 3 1 โค โก1โค
Y ( z)
1
= C[ zI โ A]โ1 B = [ โ2 1] โข
z โฅโฆ โขโฃ1โฅโฆ
U ( z)
ฮ
โฃ 0
=
โก1โค โ z + 4
1
[ โ2 z + 6 z โ 2] โข โฅ =
ฮ
โฃ1โฆ z ( z โ 3)
โก 1
โก1 โ1โค
; P โ1 = โข 2
โฅ
โฃ1 1 โฆ
โฃโ 12
(b) P = โข
1
2โค
1
2โฆ
โฅ
1โค โก1 โ1โค โก 1 2
โฅ
โข
โฅ โข 1 โฅ = โขโ 1
1
โฆ โฃ 2
2 โฆ โฃ 0 3โฆ โฃ1
โก 1
A w = P โ1AP = โข 2
โฃโ 12
1
2 โค โก0
2 โค โก1
1โค
โฅ
โข
โฅ
1
2 โฆ โฃ 3 3โฆ
1
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
โก2 2โค
=โข
โฅ
โฃ1 1 โฆ
โก1
B w = P โ1B = โข 2
โฃ โ1 2
1
1
2 โค โก1โค
โก1 โค
โฅ โข1โฅ = โข0 โฅ
โฃ โฆ
2โฆ โฃ โฆ
โก1 โ1โค
Cw = CP = [ โ2 1] โข
โฅ = [ โ1 3]
โฃ1 1 โฆ
โก2 2โค
โก1 โค
โด w (k + 1) = โข
w ( k ) + โข โฅ u( k )
โฅ
โฃ1 1 โฆ
โฃ0 โฆ
y(k ) = [โ1 3] w(k )
โก z โ 2 โ2 โค
2
โฅ ; ฮ = zI โ A w = z โ 3z + 2 โ 2 = z ( z โ 3)
โ
1
z
โ
1
โฃ
โฆ
(c) zI โ A w = โข
2 โค โก1 โค
โกz โ1
Y ( z)
1
= Cw [ zI โ A w ]โ1 B w = [ โ1 3] โข
z โ 2 โฅโฆ โขโฃ0 โฅโฆ
U ( z)
ฮ
โฃ 1
=
โก z โ 1โค โ z + 4
1
[ โ1 3] โข โฅ =
ฮ
โฃ 1 โฆ z ( z โ 3)
(d) zI โ A =
z
1
0 z โ3
= z 2 โ 3z; zI โ A w =
zโ2
โ2
โ1
z โ1
= z ( z โ 3)
โด z1 = 0, z2 = 3
A =
0 1
0 3
= 0 = z1 z2 ; A w =
2 2
1 1
=0
tr A = 3 = z1 + z2 ; tr Aw = 3
ย 45 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
2.10-3. Consider the system of Problem 2.10-2. A similarity transformation on these equations yields
โก d
โค
โข 1 0 โฅ
w( k + 1) = โข
โฅ w( k ) + B wu ( k )
โข 0 d2 โฅ
โขโฃ
โฆโฅ
y ( k ) = C wx ( k )
(a) Find d1 and d2 .
(b) Find a similarity transformation that results in the A w matrix given. Note that this matrix is
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
diagonal.
(c) Find B w and C w .
(d) Find the transfer functions of both sets of state equations to verify the results of this problem.
Solution:
(a) Let z1 , z2 be the characteristic value of A. d1 = z1 ,
d2 = z2
โก z โ1 โค
zI โ A = โข
โฅ , โด zI โ A = z ( z โ 3); โด z1 = 0, z2 = 3
โฃ 0 z โ 3โฆ
โm21 = 0
โก 0 โ1โค โก m11 โค โก0 โค
=โข โฅโ
โข
โฅ
โฅ
โ3m21 = 0
โฃ 0 โ3โฆ โฃ m21 โฆ โฃ 0 โฆ
(b) ( z1I โ A)m1 = โข
โก1 โค
โด m21 = 0, let m11 = 1, โด m1 = โข โฅ
โฃ0โฆ
โก 3 โ1โค โก m12 โค โก 0 โค
( z2 I โ A)m2 = โข
โฅ = โข โฅ โ 3m12 โ m22 = 0
โฅโข
โฃ 0 0 โฆ โฃ m22 โฆ โฃ 0 โฆ
โก1โค
โด let m12 = 1, m22 = 3, โด m2 = โข โฅ
โฃ 3โฆ
โก1 1โค
โก1 โ1 3โค
โดM = โข
, M = 3, M โ1 = โข
โฅ
โฅ
โฃ 0 3โฆ
โฃ0 1 3 โฆ
โก1 โ1 3โค โก0 1โค โก1 1โค โก1 โ1 3โค โก0 3โค โก0 0 โค
M โ1AM = โข
โฅโข
โฅโข
โฅ=โข
โฅโข
โฅ=โข
โฅ
โฃ 0 1 3 โฆ โฃ 0 3โฆ โฃ 0 3โฆ โฃ 0 1 3 โฆ โฃ 0 9 โฆ โฃ 0 3 โฆ
ย 46 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โก1 โ1 3โค โก 2 3โค
โฅ=โข โฅ
โฃ0 1 3 โฆ โฃ1 3 โฆ
(c) B w = M โ1B = โข
โก1 1 โค
Cw = CM = [ โ2 1] โข
โฅ = [ โ2 1]
โฃ 0 3โฆ
โก0 0โค
โก 2 3โค
โด w(k + 1) = โข
โฅ w ( k ) + โข 1 3 โฅ u( k )
0
3
โฃ
โฆ
โฃ โฆ
y(k ) = [โ2 1] w(k )
(d) See Problem 2.10-2(a) for the first transfer function.
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
0 โค
โกz
zI โ A w = โข
โฅ ; zI โ A w = z ( z โ 3) = ฮ
โฃ 0 z โ 3โฆ
โก z โ 3 0 โค โก 2 3โค
Y ( z)
1
= Cw [ zI โ A w ]โ1 B w = [ โ2 1] โข
z โฅโฆ โขโฃ 1 3 โฅโฆ
U ( z)
ฮ
โฃ 0
=
โก 2 3โค โ 4 z + 4 + 13 z
โz + 4
1
=
[ โ2 z + 6 z ] โข โฅ = 3
ฮ
ฮ
z ( z โ 3)
โฃ1 3 โฆ
2.10-4. Repeat Problem 2.10-2 for the system described by
โก
โค
โก
โค
x ( k + 1) = โขโข 1 0 โฅโฅ x ( k ) + โขโข 2 โฅโฅ u ( k )
โขโฃ 0 0.5 โฅโฆ
โขโฃ 1 โฅโฆ
y ( k ) = โกโข 1 2 โคโฅ x ( k )
โฃ
โฆ
(a) Find the transfer function Y ( z ) /U ( z ) .
(b) Using any similarity transformation, find a different state model for this system.
(c) Find the transfer function of the system from the transformed state equations.
(d) Verify that A given and A w derived in part (b) satisfy the first three properties of similarity
transformations. The fourth property was verified in part (c).
Solution:
(a)
ย 47 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โก 1
โข z โ1
Y ( z)
= C[ zI โ A]โ1 B = [1 2 ] โข
U ( z)
โข 0
โขโฃ
โค
โฅ โก2โค
โฅ
1 โฅ โขโฃ 1 โฅโฆ
z โ 0.5 โฅโฆ
0
โก 2 โค
โข z โ1 โฅ
2
2
4z โ 3
= [1 2 ] โข
+
=
โฅ=
โข 1 โฅ z โ 1 z โ 0.5 ( z โ 1)( z โ 0.5)
โฃโข z โ 0.5 โฆโฅ
โก1
โก1 โ1โค
, P โ1 = โข 2
โฅ
โฃ1 1 โฆ
โฃ โ1 2
1
(b) P = โข
โก1
โด A w = P โ1AP = โข 2
โฃ โ1 2
1
2โค
1 โฅ
2โฆ
2 โค โก1
0 โค โก1 โ1โค โก 1 2
=
1 โฅ โข1
1 โฅโฆ โขโฃ โ1 2
2โฆ โฃ
1
4 โค โก1
1 โฅ โข1
4โฆ โฃ
โ1โค โก 3 4
=
1 โฅโฆ โขโฃ โ1 4
โ1
3
4โค
โฅ
4โฆ
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
1 โฅ โข0
2โฆ โฃ
โก1
B w = P โ1B = โข 2
โฃ โ1 2
โก 32 โค
=
โข โ1 โฅ
1 โฅ โข1 โฅ
2โฆ โฃ โฆ
โฃ 2โฆ
1
2 โค โก 2โค
โก1 โ1โค
Cw = CP = [1 2] โข
โฅ = [3 1]
โฃ1 1 โฆ
โ 14 โค
โก 3
โก 3 โค
โด w (k + 1) = โข 4
w ( k ) + โข 2 โฅ u( k )
โฅ
3
4 โฆ
โฃโ 14
โฃโ 12 โฆ
y(k ) = [3 1] x(k )
โกz โ 34
(c) zI โ A w = โข
1
โฃ
4
9 1
4 โค
, zI โ A w = z 2 โ 1.5 z + โ = z 2 โ 1.5 z + 0.5 = ฮ
z โ 3 4 โฅโฆ
16 16
1
Y ( z)
1 โกz โ 34
= Cw [ zI โ A w ]โ1 B w = [3 1] โข
U ( z)
ฮ โฃ โ 14
=
โ 14 โค โก 3 2 โค
z โ 3 4 โฅโฆ โขโฃ โ 1 2 โฅโฆ
โก 3 โค
1
4z โ 3
[3z โ2.5 z โ 1.5] โข 2 โฅ =
1
ฮ
โฃ โ 2 โฆ ( z โ 1)( z โ 0.5)
(d) zI โ A =
z โ1
0
0
z โ 0.5
= z 2 โ 1.5 z + 0.5; zI โ A w = z 2 โ 1.5 z + 0.5
โด z1 = 1, z2 = 0.5
A =
1
0
0 0.5
= 0.5 = z1 z2 ; A w =
3
4
โ 14
โ 14
3
4
=
9 1
โ
= 0.5
16 16
tr A = 1.5 = z1 + z2 ; tr A w = 1.5
ย 48 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
2.11-1. Consider a system with the transfer function
G ( z) =
Y ( z)
U ( z)
=
2
z ( z โ 1)
(a) Find three different state-variable models of this system.
(b) Verify the transfer function of each state model in part (a), using (2-84).
Solution:
(1)
2
2 z โ2
=
z 2 โ z 1 โ z โ1
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(a) G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) =
x1(k)
+
Z
T
x2
x1 y(k)
T
change Z to 2
โก 0 1โค
โก0โค
x(k + 1) = โข
x( k ) + โข โฅ u ( k )
โฅ
โฃ 0 1โฆ
โฃ2โฆ
y(k ) = [1 0] x(k )
(2)
G( z ) =
2
2
โ2
=
+
= G1 ( z ) + G2 ( z )
z ( z โ 1)
z z โ1
T
x1(k)
Z
–
x1(k)
+
T
x2(k)
y(k)
Z
–
change Z to 2
โก0 0โค
โก1โค
x(k + 1) = โข
x( k ) + โข โฅ u ( k )
โฅ
โฃ0 1 โฆ
โฃ1โฆ
y(k ) = [โ2 2] x(k )
ย 49 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(3)
u(k)
T
Z
x2 +
T
x1 y(k)
+
change Z to 2
โก1 1 โค
โก0โค
x(k + 1) = โข
x( k ) + โข โฅ u ( k )
โฅ
โฃ0 0โฆ
โฃ 2โฆ
y(k ) = [1 0] x(k )
(b) (1)
โก z โ1 โค
2
zI โ A = โข
โฅ ; zI โ A = z โ z = ฮ
โฃ 0 z โ 1โฆ
โก z โ 1 1โค โก0โค 1
โก0โค
1
2
= [ z โ 1 1] โข โฅ =
[1 0] โข
โฅ
โข
โฅ
z โฆ โฃ 2โฆ ฮ
ฮ
โฃ 0
โฃ 2 โฆ z ( z โ 1)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
G( z ) = C[ zI โ A]โ1 B =
0 โค
โกz
2
(2) zI โ A = โข
โฅ ; zI โ A = ฮ = z โ z
0
z
โ
1
โฃ
โฆ
G ( z ) = C[ zI โ A]โ1 B =
โก z โ 1 0โค โก2โค 1
โก2 z โ 2โค
1
2
= [ โ1 1] โข
=
[โ1 1] โข
โฅ
โข
โฅ
โฅ
z โฆ โฃ 2โฆ ฮ
ฮ
โฃ 0
โฃ 2 z โฆ z ( z โ 1)
โก z โ 1 โ1โค
(3) zI โ A = โข
; zI โ A = z 2 โ z = ฮ
z โฅโฆ
โฃ 0
G ( z ) = C[ zI โ A]โ1 B =
1 โค โก0โค 1
โกz
โก0โค
1
2
[1 0] โข
โฅ โข 2 โฅ = ฮ [ z 1] โข 2 โฅ = z ( z โ 1)
0
z
1
โ
ฮ
โฃ
โฆโฃ โฆ
โฃ โฆ
2.11-2. Consider a system described by the coupled difference equation
y ( k + 2) โ v ( k ) = 0
v ( k + 1) + y ( k + 1) = u ( k )
where u ( k ) is the system input.
(a) Find a state-variable formulation for this system. Consider the outputs to be y ( k + 1) and v ( k ) .
Hint: Draw a simulation diagram first.
(b) Repeat part (a) with y ( k ) and v ( k ) as the outputs.
ย 50 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(c) Repeat part (a) with the single output v ( k ) .
(d) Use (2-84) to calculate the system transfer function with v ( k ) as the system output, as in part
(c); that is, find V ( z ) /U ( z ) .
(e) Verify the transfer function V ( z ) /U ( z ) in part (d) by taking the z-transform of the given system
difference equations and eliminating Y ( z ) .
(f) Verify the transfer function V ( z ) /U ( z ) in part (d) by using Masonโs gain formula on the
Solution:
(a)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
simulation diagram of part (a).
y(k + 2)
u(k)
u(k + 1)
+
–
T
T
y(k + 1)
x2(k)
T
y(k)
x1(k)
u(k1)
x3(k)
โก0 1 0โค
โก0 โค
x(k + 1) = โขโข 0 0 1 โฅโฅ x(k ) + โขโข 0 โฅโฅ u (k )
โขโฃ 0 โ1 0 โฅโฆ
โขโฃ1 โฅโฆ
โก x (k ) โค โก 0 1 0 โค
y0 (k ) = โข 2 โฅ = โข
โฅ x(k ); y0 (k ) = output
โฃ x3 (k ) โฆ โฃ 0 0 1 โฆ
(b) x(k + 1) = same as (a)
โก x (k ) โค โก1 0 0 โค
y0 (k ) = โข 1 โฅ = โข
โฅ x( k )
โฃ x3 (k ) โฆ โฃ0 0 1 โฆ
(c) x(k + 1) = same as (a)
y0 (k ) = x3 (k ) = [0 0 1] x(k )
โก z โ1 0 โค
z โ1โฅโฅ ; zI โ A = z 3 โ (โ z ) = z 3 + z = ฮ
โขโฃ 0 1 z โฅโฆ
(d) zI โ A = โขโข 0
ย 51 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โก z2 + 1 z2
โข
Cof[ zI โ A] = โข z
z2
โข
z
โฃโข 1
โก z2 + 1 z
0โค
โฅ
โข
1
z โฅ ; [ zI โ A]โ1 = โข z 2
z2
ฮ
โฅ
โข
z 2 โฆโฅ
z
โฃโข 0
โก z2 + 1 z
โข
Y ( z)
1
โด 0
= C[ zI โ A ]โ1 B = [0 0 1] โข z 2
z2
ฮ
U ( z)
โข
z
โฃโข 0
1
= โกโฃ 0 z
ฮ
1โค
โฅ
zโฅ
โฅ
z 2 โฆโฅ
1 โค โก0โค
โฅ
z โฅ โขโข 0 โฅโฅ
โฅ
z 2 โฆโฅ โขโฃ 1 โฅโฆ
โก0โค
z2
z
โค
z โฆ โขโข 0 โฅโฅ = 3
= 2
z โ z z +1
โขโฃ1 โฅโฆ
2
1
V ( z)
z2
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(e) z 2Y ( z ) โ V ( z ) = 0 โ Y ( z ) =
1
zV ( z) + zY ( z) = zV ( z) + V ( z) = U ( z)
z
โด
V ( z ) Y0 ( z )
1
z
=
=
= 2
1
U ( z) U ( z) z +
z +1
z
(f) From (a):
1
u(z) 1
z-1
z-1
-1
y0(z)
z-1
make u and y capital letters
Y ( z)
z โ1
z
โด 0
=
= 2
โ2
U ( z) 1 + z
z +1
2.11-3. Given the system described by the state equations
โก 1 0 0 โค
โก 1 โค
โฅ
โฅ
โข
โข
โฅ
โข
x ( k + 1) = โข 1 1 0 โฅ x ( k ) + โขโข 0 โฅโฅ u ( k )
โข 0 1 0 โฅ
โข 0 โฅ
โฆ
โฆ
โฃ
โฃ
y ( k ) = โกโข 0 0 1 โคโฅ x ( k )
โฃ
โฆ
ย 52 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(a) Calculate the transfer function Y ( z ) /U ( z ) , using (2-84).
(b) Draw a simulation diagram for this system, from the state equations given.
(c) Use Masonโs gain formula and the simulation diagram to verify the transfer function found in
part (a).
Solution:
โกz โ1
0โค
z โ 1 0 โฅโฅ ; ฮ = z 3 โ 2 z 2 + z = z ( z โ 1) 2
โ1 z โฅโฆ
0
(a) zI โ A = โขโข โ1
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
โขโฃ 0
โก
1
โข
โ1
z
โข
โก z ( z โ 1)
1 โค
z
โข
1
โข
โฅ
Cof ( zI โ A) = โข 0
z ( z โ 1)
z โ 1 โฅ , ( zI โ A) โ1 = โข
2
โข ( z โ 1)
2โฅ
โข 0
โ
0
(
1)
z
โฃ
โฆ
โข
1
โข
2
โฃโข z ( z โ 1)
0
1
z โ1
1
z ( z โ 1)
โค
0โฅ
โฅ
โฅ
0โฅ
โฅ
1โฅ
โฅ
z โฆโฅ
โก1 โค
G ( z ) = C[ zI โ A] B = [0 0 1][ zI โ A] โข 0 โฅโฅ
โขโฃ 0 โฅโฆ
โ1 โข
โ1
โก1 โค
โก
1
1
1โค โข โฅ
1
1
=โข
= 3
โฅ โข0โฅ =
2
2
z
z
z
(
โ
1)
z
z
z
z
z
z2 + z
(
1)
(
1)
2
โ
โ
โ
โฃ
โฆ โข0โฅ
โฃ โฆ
(b)
e(k)
+
T
x1(k)
+
+
T
x2(k)
+
T
x3(k) y(k)
(c) ฮ = 1 โ z โ1 โ z โ1 + z โ2 = 1 โ 2 z โ1 + z โ2
ย 53 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โด G( z) =
1
z โ3
= 3
ฮ
z โ 2z2 + z
2.11-4. Section 2.9 gives some standard forms for state equations (simulation diagrams for the control
canonical and observer canonical forms). The MATLAB statement
โกโข A,B,C,Dโคโฅ = tf 2ss( num,den)
โฆ
โฃ
generates a standard set of state equations for the transfer function whose numerator
coefficients are given in the vector num and denominator coefficients in the vector den.
(a) Use the MATLAB statement given to generate a set of state equations for the transfer function
3z + 4
z + 5z + 6
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
G ( z) =
2
(b) Draw a simulation diagram for the state equations in part (a).
(c) Determine if the simulation diagram in part (b) is one of the standard forms in Section 2.9.
Solution:
(a) n = [0 3 4];
d = [1 5 6];
[A,B,C,D] = tf2ss(n, d)
โก โ5 โ6 โค
โก1 โค
x(k + 1) = โข
x( k ) + โข โฅ u ( k )
โฅ
โฃ1 0โฆ
โฃ0โฆ
y(k ) = [3 4] x(k )
(b)
3
u(k)
+
T
x1(b)
T
x2(b)
4
+
+
y(k)
5
6
ย 54 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(c) Yes, it is the control canonical form with the states renumbered.
2.12-1. Consider the system described in Problem 2.10-2.
โก
โค
โก โค
x ( k + 1) = โขโข 0 1 โฅโฅ x ( k ) + โขโข 1 โฅโฅ u ( k )
โขโฃ 0 3 โฅโฆ
โขโฃ 1 โฅโฆ
y ( k ) = โกโข โ2 1 โคโฅ x ( k )
โฃ
โฆ
(a) Find the transfer function of this system.
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(b) Let u ( k ) = 1, k โฅ 0 (a unit step function) and x (0) = 0 . Use the transfer function of part (a) to
find the system response.
(c) Find the state transition matrix ฮฆ( k ) for this system.
(d) Use (2-90) to verify the step response calculated in part (b). This calculation results in the
response expressed as a summation. Then check the values y (0) , y (1) , and y (2) .
(e) Verify the results of part (d) by the iterative solution of the state equations.
Solution:
โก z โ1 โค
โฅ ; ฮ = zI โ A = z ( z โ 3) = ฮ
โฃ 0 z โ 3โฆ
(a) zI โ A = โข
โก z โ 3 1 โค โก1โค
Y ( z)
1
= C[ zI โ A]โ1 B = [ โ2 1] โข
z โฅโฆ โขโฃ1โฅโฆ
U ( z)
ฮ
โฃ 0
=
(b) Y ( z ) =
โก1โค โ z + 4
1
[ โ2 z + 6 z โ 2] โข โฅ =
ฮ
โฃ1โฆ z ( z โ 3)
(โ z + 4) z
z ( z โ 3)( z โ 1)
4
1
โ 32
Y ( z)
โz + 4
=
= 3+
+ 6
z
z ( z โ 1)( z โ 3) z z โ 1 z โ 3
ย 55 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โด y (0) = 0
โงโช 4 3 โ 3 2 + 1 6 = 0, k = 0
โด y (k ) = โจ
k
k โฅ1
โชโฉ โ 3 2 + 1 6 (3)
3 1
+ = โ1
2 2
3 3
y (2) = โ + = 0
2 2
y (1) = โ
(c)
1 โค
โก1
โข
z ( z โ 3) โฅ
โฅ = zโขz
z โฅ
โข0
z ( z โ 3) โฅโฆ
โฃโข
โก
1
1 k
โข ฮด(k) โ ฮด(k) + (3)
โด ฮฆ(k) = โข
3
3
k
โข 0
(3)
โฃ
โค
โฅ
โฅ
โฅ
โฆ
k โ1
1
โ 13
โค
+ 3 โฅ
z
z โ3
โฅ
1
โฅ
z โ 3 โฆโฅ
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
โก z โ3
โข z ( z โ 3)
ฮฆ( z ) = z ( zI โ A) โ1 = z โข
โข
โข 0
โฃ
k โ1
โก
โค
j=0
โฃ
โฆ
(d) y(k) = โ Cฮฆ(k โ 1 โ j)Bu( j) = โ โกโฃ โ2 1 โคโฆ ฮฆ(k โ 1 โ j) โข 1 โฅ
1
j=0
โก 2
1 k โ jโ1 โค k โ1
โข ฮด(k โ 1 โ j) + (3)
โฅ
โก โ4
1 k โ jโ1 โค
= โ โกโฃ โ2 1 โคโฆ โข 3
3
โฅ = โ โข 3 ฮด(k โ j โ 1) + 3 (3)
โฅ
โฆ
j=0
k โ jโ1
โข
โฅ j=0 โฃ
(3)
โฃ
โฆ
k โ1
k โ1
โค
โก โ4
1
= โ โข ฮด(k โ 1 โ j) + (3) k โ1โ j โฅ
3
โฆ
j=0 โฃ 3
4
1
4 1
y(0) = 0; y(1) = โ ฮด(0) + (3)0 = โ + = โ1
3
3
3 3
4
1
4
1
4 1
y(2) = โ ฮด(1) + (3)1 โ ฮด(0) + (3)0 = 1 โ + = 0
3
3
3
3
3 3
โก 0 1โค โก0 โค โก1โค โก1โค
โก1โค
+ โข โฅ = โข โฅ ; y (1) = [ โ2 1] โข โฅ = โ1
โฅ
โข
โฅ
โฃ 0 3โฆ โฃ 0 โฆ โฃ1โฆ โฃ1โฆ
โฃ1โฆ
(e) x(1) = โข
โก 0 1โค โก1โค โก1โค โก 2 โค
โก 2โค
x(2) = โข
+ โข โฅ = โข โฅ ; y(2) = [ โ2 1] โข โฅ = 0
โฅ
โข
โฅ
โฃ 0 3โฆ โฃ1โฆ โฃ1โฆ โฃ 4 โฆ
โฃ 4โฆ
2.12-2. The system described by the equations
โก
โค
โก
โค
x ( k + 1) = โขโข 1 0 โฅโฅ x ( k ) + โขโข 2 โฅโฅ u ( k )
โขโฃ 0 0.5 โฅโฆ
โขโฃ 1 โฅโฆ
ย 56 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
y ( k ) = โกโขโฃ1 2โคโฅโฆ x ( k )
T
is excited by the initial conditions x (0) = โกโขโฃ โ1 2 โคโฅโฆ with u ( k ) = 0 for all k.
(a) Use (2-89) to solve for x ( k ), k โฅ 0.
(b) Find the output y ( z ) .
(c) Show that ฮฆ( k ) in (a) satisfies the property ฮฆ(0) = I.
(d) Show that the solution in part (a) satisfies the given initial conditions.
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
(e) Use an iterative solution of the state equations to show that the values y ( k ) , for k = 0, 1, 2, and
3, in part (b) are correct.
(f) Verify the results in part (e) using MATLAB.
Solution:
(a)
0 โค
โกz โ1
zI โ A = โข
; zI โ A = ฮ = ( z โ 1)( z โ 0.5)
0
z
โ
0.5โฅโฆ
โฃ
โก 1
โข z โ1
z
0.5
0
โ
โก
โค
1
=โข
( zI โ A โ1 ) = โข
โฅ
z โ 1โฆ โข
ฮโฃ 0
0
โฃโข
โก z
โข z โ1
โด ฮฆ(k ) = / โ1 โข
โข 0
โฃโข
โค
โฅ
โฅ
1 โฅ
z โ 0.5 โฆโฅ
0
โค
โฅ โก1
0 โค
โฅ=โข
โฅ
z โฅ โฃ 0 0.5k โฆ
z โ 0.5 โฆโฅ
0
โก1 0 โค โก 1 โค โก 1 โค
โด x(k ) = ฮฆ(k )x(0) = โข
=โข
kโฅ โข โฅ
kโฅ
โฃ0 0.5 โฆ โฃ 2 โฆ โฃ 2(0.5) โฆ
โก 1 โค
(b) y(k ) = Cx(k ) = [1 2] โข
= 1 + 4(0.5) k
kโฅ
โฃ 2(0.5) โฆ
โก1 0 โค โก1 0 โค
(c) ฮฆ(0) = โข
=โข
โฅ=I
0โฅ
โฃ0 0.5 โฆ โฃ0 1 โฆ
ย 57 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โก 1 โค โก1 โค
(d) x(k ) k =0 = โข
=โข โฅ
kโฅ
โฃ 2(0.5) โฆ โฃ 2 โฆ
y (0) = 5 y (2) = 2
y (1) = 3 y (3) = 1.5
(e) From (b),
โก1 โค
y (0) = Cx(0) = [1 2 ] โข โฅ = 5
โฃ2โฆ
โก1 0 โค โก 1 โค โก1โค
โก1โค
x(1) = โข
= โข โฅ , y (1) = [1 2] โข โฅ = 3
โฅ
โข
โฅ
โฃ 0 0.5โฆ โฃ 2 โฆ โฃ1โฆ
โฃ1โฆ
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
โก1 0 โค โก1โค โก 1 โค
โก1 โค
x(2) = โข
= โข โฅ , y(2) = [1 2 ] โข โฅ = 2
โฅ
โข
โฅ
โฃ0 0.5โฆ โฃ1โฆ โฃ0.5โฆ
โฃ0.5โฆ
โก1 0 โค โก 1 โค โก 1 โค
โก 1 โค
x(3) = โข
=โข
, y (3) = [1 2] โข
โฅ
โข
โฅ
โฅ
โฅ = 1.5
โฃ 0 0.5โฆ โฃ 0.5โฆ โฃ 0.25โฆ
โฃ 0.25โฆ
(f) A = [1 0;0 .5]; B = [2; 1]; C = [1 2];
x=[1; 2];
u = 0;
for k = 0:3
x1 = A*x + B*u;
y = C*x;
[k,y]
x = x1;
end
2.12-3. The system described by the equations
โก 1.1 1 โค
โก โค
โฅ x (k ) + โข 1 โฅ u(k )
x ( k + 1) = โขโข
โฅ
โข 1 โฅ
โขโฃ โฅโฆ
โขโฃ โ0.3 0 โฅโฆ
y ( k ) = โกโข 1 โ1 โคโฅ x ( k )
โฃ
โฆ
T
is excited by the initial conditions x (0) = โกโขโฃ โ1 2 โคโฅโฆ with u ( k ) = 0 for all k.
ย 58 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
(a) Use (2-89) to solve for x ( k ), k โฅ 0.
(b) Find the output y ( k ) .
(c) Show that ฮฆ( k ) in part (a) satisfies the property ฮฆ(0) = I .
(d) Show that the solution in part (a) satisfies the given initial conditions.
(e) Use an iterative solution of the state equations to show that the values y ( k ) , for k = 0, 1, 2, and
3, in part (b) are correct.
(a)
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
Solution:
โก z โ 1.1 โ1โค
zI โ A = โข
; zI โ A = ฮ = z 2 โ 1.1z + 0.3 = ( z โ 0.5)( z โ 0.6)
โฅ
zโฆ
โฃ 0.3
( zI โ A)โ1 =
1 โค
1โก z
โข
ฮ โฃ โ0.3 z โ 1.1โฅโฆ
โ โก
z
โ โข
( z โ 0.5)( z โ 0.6)
ฮฆ(k ) = / โ1[ z ( zI โ A) โ1 ] = / โ1 โ z โข
โ โข
โ0.3
โ โข
(
z
โ
0.5)(
z โ 0.6)
โ โฃ
โ โก โ5
6
+
โ โข
z
.5
z
.6
โ
โ
= / โzโข
3
3
โ
โ โข
+
โ โข
โ โฃ z โ .5 z โ .6
โ1
โก โ5(0.5)k + 6(0.6)k
=โข
k
k
โฃโข 3(0.5) โ 3(0.6)
1
โคโ
โ
( z โ 0.5)( z โ 0.6) โฅ โ
โฅ
z โ 1.1
โฅโ
โ
( z โ 0.5)( z โ 0.6) โฅโฆ โ
โ10
10 โค โ
+
โ
z โ .5 z โ .6 โฅ โ
โฅ
6
โ5 โฅ โ
+
โ
z โ .5 z โ .6 โฅโฆ โ
โ10(0.5)k + 10(0.6)k โค
โฅ
6(0.5)k โ 5(0.6)k โฆโฅ
โก โ5(0.5)k + 6(0.6)k
โด x(k ) = ฮฆ(k )x(0) = โข
k
k
โฃโข 3(0.5) โ 3(0.6)
โ10(0.5)k + 10(0.6)k โค โก โ1โค โก โ15(0.5)k + 14(0.6)k โค
โฅโข โฅ = โข
โฅ
6(0.5)k โ 5(0.6)k โฆโฅ โฃ 2 โฆ โฃโข 9(0.5)k โ 7(0.6)k โฆโฅ
โก โ15(0.5)k + 14(0.6)k โค
k
k
(b) y(k ) = Cx(k ) = [1 โ1] โข
โฅ = โ24(0.5) + 21(0.6)
k
k
9(0.5)
7(0.6)
โ
โฃโข
โฆโฅ
โก โ5 + 6 โ10 + 10 โค โก1 0 โค
=
=I
6 โ 5 โฆโฅ โฃโข 0 1 โฆโฅ
โฃ 3โ3
(c) ฮฆ(0) = โข
ย 59 ย
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
โก โ15 + 14 โค โก โ1โค
โฅ=โข โฅ
โฃ 9โ7 โฆ โฃ 2 โฆ
(d) x(k ) k =0 = โข
(e) From (b),
y (0) = โ3
y (2) = 1.56
y (1) = 0.6
y (3) = 1.536
โก โ1โค
y (0) = Cx(0) = [1 โ1] โข โฅ = โ3
โฃ2โฆ
โก 1.1 1 โค โก โ1โค โก 0.9 โค
โก 0.9 โค
x(1) = โข
= โข โฅ ; y (1) = [1 โ1] โข โฅ = 0.6
โฅ
โข
โฅ
โฃ โ0.3 0 โฆ โฃ 2 โฆ โฃ 0.3โฆ
โฃ 0.3โฆ
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
โก 1.1 1 โค โก0.9 โค โก 1.29 โค
โก 1.29 โค
x(2) = โข
โฅ โข 0.3โฅ = โข โ0.27 โฅ ; y(2) = [1 โ1] โข โ0.27 โฅ = 1.56
โ
0.3
0
โฃ
โฆโฃ โฆ โฃ
โฆ
โฃ
โฆ
โก 1.1 1 โค โก 1.29 โค โก 1.149 โค
โก 1.149 โค
x(3) = โข
=โข
; y (3) = [1 โ1] โข
โฅ
โข
โฅ
โฅ
โฅ = 1.536
โฃ โ0.3 0 โฆ โฃ โ0.27 โฆ โฃ โ0.387 โฆ
โฃ โ0.389 โฆ
MATLAB:
A = [1.1 1;โ0.3 0]; B = [1; 1]; C = [1 โ1];
x=[โ1; 2];
u = 0;
for k = 0:3
x1 = A*x + B*u;
y = C*x;
[k,y]
x = x1;
end
2.12-4. Let ฮฆ( k ) be the state transition matrix for the equations
x ( k + 1) = Ax ( k )
Show that ฮฆ( k ) satisfies the difference equation
ฮฆ( k + 1) = Aฮฆ( k )
ย 60 ย
T
an his
th d wo
sa eir is p rk
w le co ro is
ill o u vi pr
de f a rse de ot
st ny s d s ec
ro p an o te
y ar d le d
th t o a ly by
e
s
in f th se for Un
te is ss th ite
gr w in e
ity o g us d S
of rk ( stu e o tat
th inc de f i es
e lu nt ns co
w d le tr p
or in a uc y
k g rn to rig
an on in rs h
d th g. in t la
is e D t w
no W iss ea s
t p or em ch
in
er ld
m W ina g
itt id tio
ed e n
. We or
b)
Early Draft — Final Version Expected 2/2015 — can be updated via the Instructor Resource website.
Solution:
x(k + 1) = Ax(k ); x(k ) = ฮฆ(k )x(0)
โด ฮฆ(k + 1)x(0) = Aฮฆ(k )x(0)
Since this is true for any x(0), โด ฮฆ(k + 1) = Aฮฆ(k )
ย
ย 61 ย
Document Preview (45 of 279 Pages)
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following SchloarOn's honor code & terms of service.
You are viewing preview pages of the document. Purchase to get full access instantly.
-37%
Solution Manual for Digital Control System Analysis Design, 4th Edition
$18.99 $29.99Save:$11.00(37%)
24/7 Live Chat
Instant Download
100% Confidential
Store
Ethan Young
0 (0 Reviews)
Best Selling
The World Of Customer Service, 3rd Edition Test Bank
$18.99 $29.99Save:$11.00(37%)
Chemistry: Principles And Reactions, 7th Edition Test Bank
$18.99 $29.99Save:$11.00(37%)
Test Bank for Strategies For Reading Assessment And Instruction: Helping Every Child Succeed, 6th Edition
$18.99 $29.99Save:$11.00(37%)
Solution Manual for Designing the User Interface: Strategies for Effective Human-Computer Interaction, 6th Edition
$18.99 $29.99Save:$11.00(37%)
Data Structures and Other Objects Using C++ 4th Edition Solution Manual
$18.99 $29.99Save:$11.00(37%)
Test Bank for Hospitality Facilities Management and Design, 4th Edition
$18.99 $29.99Save:$11.00(37%)